Quartile, Quantile, Perzentile etc.

Definitorische Antwort

Für eine gegebene reelle Zufallsvariable \(X\) heißt eine reelle Zahl \(x_p\) ein p-Quantil (von \(X\)), falls gilt:

\[P(X \leq x_p) \leq p \quad \text{ und }\quad P(x_p \leq X) \geq 1-p.\]

Was bedeutet das denn nun konkret?

Nun, ein Quantil ist ein Schwellenwert. Ein bestimmter Anteil der Werte ist kleiner als das Quantil, der Rest ist größer. Das 25-%-Quantil beispielsweise ist der Wert, für den gilt, dass 25 % aller Werte kleiner sind als dieser Wert. Quantile formalisieren praktische Aussagen wie „25 % aller Frauen sind kleiner als 1,62 m“ –- wobei 1,62 m hier das 25-%-Quantil ist.

Spezielle Quantile sind der Median, die Quartile, die Quintile, die Dezile und die Perzentile:

Wir betrachten dazu in den Bespielen die Datenreihe dr an:

# Die Zahlen von 0 bis 600 
dr <- 0:600

Median

Der Median (von lat. Medium für „Mitte, Mittelpunkt“ abgeleiteter Begriff mit der Bedeutung “in der Mitte gelegen”) die das 50-%-Quantil. Der Wert, welcher die Datenreihe (bestenfalls) in zwei (etwa) gleich große Abschnitte trennt. Sehr oft schreibt man \(x_{med}\), \(x_{50\%}\), \(x_{Med}\) oder \(Q_2\) für den Median

median(dr)

## [1] 300

Terzile

Als Terile (von lat. tertius “der Dritte”) werden die beiden Quantile mit \(p=1/3\) und \(p=2/3\) bezeichnet. Sie teilen die Datenreihe in drei Abschnitte.

quantile(dr, probs = seq(0, 1, 1/3))

##        0% 33.33333% 66.66667%      100% 
##         0       200       400       600

Quartile

Die Quartile (von lat. quartus „der Vierte“) werden die Quantile mit \(p=25\%\), \(p=50\%\) und \(p=75\%\) bezeichnet. Sie teilen die Datenreihe in vier Abschnitte. Dabei schreibt man oft: \(Q_1 = x_{0{,}25}\), \(x_{Med} = Q_2 = x_{0{,}50}\) und \(Q_3 = x_{0{,}75}\) für die drei Quantile.

quantile(dr) # oder auch: quantile(dr, probs=seq(0, 1, 1/4))

##   0%  25%  50%  75% 100% 
##    0  150  300  450  600

Quintile

Quintile (von lat. quintus “der Fünfte”) werden die Quantile mit \(p=20\%\), \(p=40\%\), \(p=60\%\) und \(p=80\%\) bezeichnet. Sie teilen die Datenreihe in fünf Abschnitte.

quantile(dr, probs = seq(0, 1, 1/5))

##   0%  20%  40%  60%  80% 100% 
##    0  120  240  360  480  600

Dezile

Die Quantile für vielfache von \(0{,}1\) also für \(p=0{,}1;0{,}2;\dots ;0{,}9\) werden Dezile (von mittellateinisch decimalis, zu lat. decem „zehn“) genannt. Dabei heißt das \(0{,}1\)-Quantil das erste Dezil, das \(0{,}2\)-Quantil das zweite Dezil usw. Unterhalb des ersten Dezils liegen 10 % der Stichprobe, oberhalb entsprechend 90 % der Stichprobe. Ebenso liegen 40 % der Stichprobe unterhalb des vierten Dezils und 60 % oberhalb.

quantile(dr, probs = seq(0, 1, 1/10))

##   0%  10%  20%  30%  40%  50%  60%  70%  80%  90% 100% 
##    0   60  120  180  240  300  360  420  480  540  600

Perzentile

Als Perzentile (von lat.-ital. per centum “von Hundert, Hundertstel”) werden die Quantile von \(\displaystyle 0{,}01\) bis $ 0{,}99$ in Schritten von \(0{,}01\) bezeichnet.

quantile(dr, probs = seq(0, 1, 1/100))

##   0%   1%   2%   3%   4%   5%   6%   7%   8%   9%  10%  11%  12%  13%  14%  15% 
##    0    6   12   18   24   30   36   42   48   54   60   66   72   78   84   90 
##  16%  17%  18%  19%  20%  21%  22%  23%  24%  25%  26%  27%  28%  29%  30%  31% 
##   96  102  108  114  120  126  132  138  144  150  156  162  168  174  180  186 
##  32%  33%  34%  35%  36%  37%  38%  39%  40%  41%  42%  43%  44%  45%  46%  47% 
##  192  198  204  210  216  222  228  234  240  246  252  258  264  270  276  282 
##  48%  49%  50%  51%  52%  53%  54%  55%  56%  57%  58%  59%  60%  61%  62%  63% 
##  288  294  300  306  312  318  324  330  336  342  348  354  360  366  372  378 
##  64%  65%  66%  67%  68%  69%  70%  71%  72%  73%  74%  75%  76%  77%  78%  79% 
##  384  390  396  402  408  414  420  426  432  438  444  450  456  462  468  474 
##  80%  81%  82%  83%  84%  85%  86%  87%  88%  89%  90%  91%  92%  93%  94%  95% 
##  480  486  492  498  504  510  516  522  528  534  540  546  552  558  564  570 
##  96%  97%  98%  99% 100% 
##  576  582  588  594  600