Der Zentrale Grenzwertsatz

Der Zentrale Grenzwertsatz der Statistik bei identischer Verteilung.

Zentraler Grenzwertsatz

Seien \(X_1, X_2, ..., X_n\) unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert \(E(X_i) = \mu\) und bekannter Varianz \(Var(X_i)=\sigma^2\).

Für die Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) ist dann der Erwartungswert \(E(S_n)= n \cdot \mu\) und die Varianz \(Var(S_n)= n \cdot \sigma^2\).

Dann gilt für die standardisierte Zufallsvariable

\[ \begin{align*} Z_n &= \frac{\left(\sum\limits_{i=1}^n X_i\right) - n \cdot \mu}{\sqrt{n\cdot \sigma^2}} = \frac{S_n - n \cdot \mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}} = \frac{n \cdot \bar{X}_n-n \cdot \mu}{\sigma \cdot n / \sqrt{n}} \\ &= \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} \cdot \sqrt{n}, \end{align*} \]

dass sie für wachsendes \(n\) immer besser durch die Standardnormalverteilung \(N(0, 1)\) approximiert werden kann.

Mit anderen Worten:

\[ P(Z_n \leq x) \longrightarrow \Phi(x), \quad \text{ für }\; n \rightarrow \infty \]

Ein Beispiel:

Nehmen wir drei Verteilungen mit Zufallsvariable \(U\), \(X\), \(Y\) und jeweils \(n\) Realisationen \(u_1,\dots, u_n\), \(x_1,\dots, x_n\), \(y_1,\dots, y_n\).

Wählen wir zunächst \(n=5\):

u
## [1] 19.726 69.683 60.790  0.955 42.901
x
## [1]  7.942 15.905 12.917  6.818  4.434
y
## [1] 59.961 56.552 51.094 75.288 47.985

Standardisieren wir die Werte:

library(mosaic)
zscore(u)
## [1] -0.6695256  1.0830283  0.7710507 -1.3280357  0.1434823
zscore(x)
## [1] -0.3543069  1.3440714  0.7067796 -0.5940379 -1.1025063
zscore(y)
## [1]  0.1677971 -0.1526624 -0.6657361  1.6085958 -0.9579944

Die Behauptung des Zentralengrenzwertsatzes ist nun, dass mit steigender Anzahl an Werten \(n\) die standardisierten Werte in der empirischen Verteilungsfunktion sich immer mehr der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung annähern:

Weiterführende Literatur und Quellen dieses Eintrags:

1. Schira, J.: Statistische Methoden der VWL und BWL. PEARSON Studion, München (2005)

3. Weisstein, E.W.: Central limit theorem, http://mathworld.wolfram.com/CentralLimitTheorem.html, (2017)

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Norman Markgraf
Diplom-Mathematiker

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