Wahrscheinlichkeitstheorie

Konfidenzintervalle

Zentrales Schwankungsintervall

Das zentrale Schwankungsintervall sagt etwas über die Präzision der Lageschätzung eines Parameters (zum Beispiel eines Mittelwertes) aus. Das Schwankungsintervall schließt einen Bereich um den wahren Wert des Parameters in der Grundgesamtheit ein, der – vereinfacht gesprochen – mit einer zuvor festgelegten Sicherheitswahrscheinlichkeit den aus der Stichprobe geschätzten Parameter enthält.1 vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Zentrales_Schwankungsintervall↩

Quartile, Quantile, Perzentile etc.

“Was hat das eigentlich mit den Quartilen, Quantilen und so weiter auf sich?” Diese Frage kommt ab und zu in Vorlesungen zur Statistik vor. Dabei ist die Antwort recht einfach. Quantile Definitorische Antwort Für eine gegebene reelle Zufallsvariable \(X\) heißt eine reelle Zahl \(x_p\) ein p-Quantil (von \(X\)), falls gilt: \[P(X \leq x_p) \leq p \quad \text{ und }\quad P(x_p \leq X) \geq 1-p.\] Was bedeutet das denn nun konkret?

Der Zentrale Grenzwertsatz

Der Zentrale Grenzwertsatz der Statistik bei identischer Verteilung. Zentraler Grenzwertsatz Seien \(X_1, X_2, ..., X_n\) unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert \(E(X_i) = \mu\) und bekannter Varianz \(Var(X_i)=\sigma^2\). Für die Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) ist dann der Erwartungswert \(E(S_n)= n \cdot \mu\) und die Varianz \(Var(S_n)= n \cdot \sigma^2\). Dann gilt für die standardisierte Zufallsvariable \[ \begin{align*} Z_n &= \frac{\left(\sum\limits_{i=1}^n X_i\right) - n \cdot \mu}{\sqrt{n\cdot \sigma^2}} = \frac{S_n - n \cdot \mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}} = \frac{n \cdot \bar{X}_n-n \cdot \mu}{\sigma \cdot n / \sqrt{n}} \\ &= \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} \cdot \sqrt{n}, \end{align*} \]