Der Satz von Vieta und Dr. Loh's Methode
Das schnelle Lösen von quadratischen Gleichungen – mit (nahezu) ganzzahligen Lösungen – ist etwas für den (Wurzel-)Satz von Vieta.
Ist eine quadratischen Gleichung in Normalform, genügt sie der folgenden Darstellung:
\[x^2 + px + q = 0\]
Diese Gleichung hat, wenn überhaupt, zwei (nicht notwendig verschiedene) Lösungen \(x_1\) und \(x_2\).
Wegen
\[(x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2 -(x_1+x_2)\cdot x + x_1\cdot x_2 = x^2 + px + q\]
muss \(p = -\left(x_1+x_2\right)\) und gleichzeitig \(q = x_1 \cdot x_2\) gelten.
Sucht man nach (ganzzahligen) \(x_1\) und \(x_2\), so nimmt man die Teilermenge \(T_q\) von \(q\) und prüft für jedes \(x \in T_q\) ob es ein \(y \in T_q\) gibt, so dass \(\pm x\) und \(\pm y\) sowohl die Gleichungen für \(p\) und \(q\) erfüllen. Ein für \(q\) passendes Paar zu finden ist dabei nicht das Problem. Aber die Gleichung für \(p\) muss auch erfüllt sein.
Ein Beispiel
Hat die Gleichung \(x^2 - 8 \cdot x + 12 = 0\) also nur ganzzahlige Lösungen, so reicht es die Teiler von \(12\) zu untersuchen.
Nun ist \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\) und somit die Teilermenge von \(12\) die Menge \(T_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\).
Wegen der \(p=-8\) muss \(x_1 + x_2\) eine positive Zahl sein. Wegen \(q=+12\) müssen \(x_1\) und \(x_2\) beide positiv sein.
Gesucht ist also die Lösung von \(x_1+x_2 = 8\) für \(x_1, x_2 \in T_{12}\).
Für \(1\) findet sich \(12\), für \(2\) findet sich \(6\) und für \(3\) findet sich \(4\). Danach drehen sich die Positionen nur noch um, es gibt aber keinen neuen Paarungen.
Weil \(1 + 12 = 13 \neq 8\) und \(3+4=7 \neq 8\) ist fallen diese Paare als Lösungen aus.
Da \(2+6=8\) und \(2 \cdot 6 = 12\) ist, haben wir mit \(x_1=2\) und \(x_2=6\) die Lösung gefunden.
Dr. Loh’s Methode
Dr. Loh’s Methode zielt darauf ab, das Raten des Lösungspaars \(x_1\) und \(x_2\) etwas stärker in eine Berechnung zu überführen.
Wir starten mit \(p=8\) und wissen, dass \(p\) in die Summe von zwei Zahlen zerlegt werden muss. \(p/2\) ist der Scheitelpunktstelle der quadratischen Funktion \(f(x) = x^2+px+q\) und die zwei Nullstellen, sofern existent, haben von der Scheitelpunktstelle \(p/\) den selben Abstand, den wir \(u\) nennen wollen.
Damit ist
\[x_1 = \frac{p}{2} +u \quad\text{ und }\quad x_2 = \frac{p}{2} - u\]
In unserem Beispiel gilt: \[x_1 = 4+u \quad\text{ und }\quad x_2 = 4 - u\] Da nachdem Wurzelsatz von Vieta \(q=x_1 \cdot x_2\) ist, gilt (mit der 3. Binomischen Formel) für unser Beispiel:
\[x_1 \cdot x_2 = (4+u)(4-u)=4^2-u^2 = 16-u^2 = 12\]
Wir stellen die Gleichung um und erhalten:
\[u^2 = 16-12 = 4\] Diese Wurzelgleichung hat nun zwei Lösungen:
\[u = \pm\sqrt{4} = \pm 2, \text{ somit: }u_1=-2, u_2 = 2\]
Und – entweder durch ausprobieren oder nachdenken – erhalten wir die Lösung \(x_1=4+u_1=2\) und \(x_2=4-u_1=6\) ergibt.
Ein weiteres Beispiel
\[x^2 -10 \cdot x + 24 = 0\]
Dann ist \(x_1=5-u\), \(x_2=5+u\), \(x_1\cdot x_2=25-u^2 = 24\) und somit \(u^2=\pm 1\) und die Lösung \(x_1=4\) sowie \(x_2=6\).
Und noch ein Beispiel
\[x^2 - 7 \cdot x + 12 = 0\]
Nun ist \(x_1=3{,}5-u\), \(x_2=3{,}5+u\), \(x_1 \cdot x_2 = 12{,}25-u^2=12\) und somit \(u^2=\pm 0{,}25\) und die Lösung \(x_1=3\) und \(x_2=4\).
Norman Markgraf
Diplom-Mathematiker
Norman Markgraf ist freiberuflicher Dozent für Mathematik, Statistik, Data Science und Informatik, sowie freiberuflicher Programmierer.