Der Zentrale Grenzwertsatz

Zentraler Grenzwertsatz

Seien \(X_1, X_2, ..., X_n\) unabhänige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert \(E(X_i) = \mu\) und bekanter Varianz \(Var(X_i)=\sigma^2\).

Für die Summe \(S_n = \sum_{i=1}^n X_i\) ist dann der Erwartungswert \(E(S_n)= n \cdot \mu\) und die Varianz \(Var(S_n)= n \cdot \sigma^2\).

Dann gilt für die standardisierte Zufallsvariable

\[ Z_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n \cdot \mu}{\sqrt{n\cdot \sigma^2}} = \frac{S_n - n \cdot \mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}} = \frac{\bar{X_n}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X_n}-\mu}{\sigma} \cdot \sqrt{n}, \]

dass sie für wachsendes \(n\) immer besser durch die Standardnormalverteilung \(N(0,1)\) approximiert werden kann.

Mit anderen Worten:

\[ P(Z_n \leq x) \longrightarrow \Phi(x), \quad \text{ für } n \rightarrow \infty \]

Weiterführende Literatur und Quellen dieses Eintrags :