Wahrscheinlichkeitstheorie

Konfidenzintervalle

Zentrales Schwankungsintervall

Quartile, Quantile, Perzentile etc.

“Was hat das eigentlich mit den Quartilen, Quantilen und so weiter auf sich?” Diese Frage kommt ab und zu in Vorlesungen zur Statistik vor. Dabei ist die Antwort recht einfach. Quantile Definitorische Antwort Für eine gegebene reelle Zufallsvariable (X) heißt eine reelle Zahl (x_p) ein p-Quantil (von (X)), falls gilt: [P(X \leq x_p) \leq p \quad \text{ und }\quad P(x_p \leq X) \geq 1-p.] Was bedeutet das denn nun konkret?

Der Zentrale Grenzwertsatz

Der Zentrale Grenzwertsatz der Statistik bei identischer Verteilung. Zentraler Grenzwertsatz Seien (X_1, X_2, …, X_n) unabhänige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit bekanntem Erwartungswert (E(X_i) = \mu) und bekanter Varianz (Var(X_i)=\sigma^2). Für die Summe (Sn = \sum{i=1}^n X_i) ist dann der Erwartungswert (E(S_n)= n \cdot \mu) und die Varianz (Var(S_n)= n \cdot \sigma^2). Dann gilt für die standardisierte Zufallsvariable [ \begin{align} Zn &= \frac{\left(\sum\limits{i=1}^n X_i\right) - n \cdot \mu}{\sqrt{n\cdot \sigma^2}} = \frac{S_n - n \cdot \mu}{\sigma \cdot \sqrt{n}} = \frac{n \cdot \bar{X}_n-n \cdot \mu}{\sigma \cdot n / \sqrt{n}} \ &= \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} \cdot \sqrt{n}, \end{align} ]