Quartile, Quantile, Perzentile etc.

“Was hat das eigentlich mit den Quartilen, Quantilen und so weiter auf sich?” Diese Frage kommt ab und zu in Vorlesungen zur Statistik vor. Dabei ist die Antwort recht einfach.

Quantile

Definitorische Antwort

Für eine gegebene reelle Zufallsvariable \(X\) heißt eine reelle Zahl \(x_p\) ein p-Quantil (von \(X\)), falls gilt:

\[P(X \leq x_p) \leq p \quad \text{ und }\quad P(x_p \leq X) \geq 1-p.\]

Was bedeutet das denn nun konkret?

Nun, ein Quantil ist ein Schwellenwert. Ein bestimmter Anteil der Werte ist kleiner als das Quantil, der Rest ist größer. Das 25-%-Quantil beispielsweise ist der Wert, für den gilt, dass 25 % aller Werte kleiner sind als dieser Wert. Quantile formalisieren praktische Aussagen wie „25 % aller Frauen sind kleiner als 1,62 m“ –- wobei 1,62 m hier das 25-%-Quantil ist.

Spezielle Quantile sind der Median, die Quartile, die Quintile, die Dezile und die Perzentile:

Wir betrachten dazu in den Bespielen die Datenreihe dr an:

# Die Zahlen von 0 bis 600 
dr <- 0:600

Median

Der Median (von lat. Medium für „Mitte, Mittelpunkt“ abgeleiteter Begriff mit der Bedeutung “in der Mitte gelegen”) die das 50-%-Quantil. Der Wert, welcher die Datenreihe (bestenfalls) in zwei (etwa) gleich große Abschnitte trennt. Sehr oft schreibt man \(x_{med}\), \(x_{50\%}\), \(x_{Med}\) oder \(Q_2\) für den Median

median(dr)
## [1] 300

Terzile

Als Terile (von lat. tertius “der Dritte”) werden die beiden Quantile mit \(p=1/3\) und \(p=2/3\) bezeichnet. Sie teilen die Datenreihe in drei Abschnitte.

quantile(dr, probs = seq(0, 1, 1/3))
##        0% 33.33333% 66.66667%      100% 
##         0       200       400       600

Quartile

Die Quartile (von lat. quartus „der Vierte“) werden die Quantile mit \(p=25\%\), \(p=50\%\) und \(p=75\%\) bezeichnet. Sie teilen die Datenreihe in vier Abschnitte. Dabei schreibt man oft: \(Q_1 = x_{0{,}25}\), \(x_{Med} = Q_2 = x_{0{,}50}\) und \(Q_3 = x_{0{,}75}\) für die drei Quantile.

quantile(dr) # oder auch: quantile(dr, probs=seq(0, 1, 1/4))
##   0%  25%  50%  75% 100% 
##    0  150  300  450  600

Quintile

Quintile (von lat. quintus “der Fünfte”) werden die Quantile mit \(p=20\%\), \(p=40\%\), \(p=60\%\) und \(p=80\%\) bezeichnet. Sie teilen die Datenreihe in fünf Abschnitte.

quantile(dr, probs = seq(0, 1, 1/5))
##   0%  20%  40%  60%  80% 100% 
##    0  120  240  360  480  600

Dezile

Die Quantile für vielfache von \(0{,}1\) also für \(p=0{,}1;0{,}2;\dots ;0{,}9\) werden Dezile (von mittellateinisch decimalis, zu lat. decem „zehn“) genannt. Dabei heißt das \(0{,}1\)-Quantil das erste Dezil, das \(0{,}2\)-Quantil das zweite Dezil usw. Unterhalb des ersten Dezils liegen 10 % der Stichprobe, oberhalb entsprechend 90 % der Stichprobe. Ebenso liegen 40 % der Stichprobe unterhalb des vierten Dezils und 60 % oberhalb.

quantile(dr, probs = seq(0, 1, 1/10))
##   0%  10%  20%  30%  40%  50%  60%  70%  80%  90% 100% 
##    0   60  120  180  240  300  360  420  480  540  600

Perzentile

Als Perzentile (von lat.-ital. per centum “von Hundert, Hundertstel”) werden die Quantile von \(\displaystyle 0{,}01\) bis $ 0{,}99$ in Schritten von \(0{,}01\) bezeichnet.

quantile(dr, probs = seq(0, 1, 1/100))
##   0%   1%   2%   3%   4%   5%   6%   7%   8%   9%  10%  11%  12%  13%  14% 
##    0    6   12   18   24   30   36   42   48   54   60   66   72   78   84 
##  15%  16%  17%  18%  19%  20%  21%  22%  23%  24%  25%  26%  27%  28%  29% 
##   90   96  102  108  114  120  126  132  138  144  150  156  162  168  174 
##  30%  31%  32%  33%  34%  35%  36%  37%  38%  39%  40%  41%  42%  43%  44% 
##  180  186  192  198  204  210  216  222  228  234  240  246  252  258  264 
##  45%  46%  47%  48%  49%  50%  51%  52%  53%  54%  55%  56%  57%  58%  59% 
##  270  276  282  288  294  300  306  312  318  324  330  336  342  348  354 
##  60%  61%  62%  63%  64%  65%  66%  67%  68%  69%  70%  71%  72%  73%  74% 
##  360  366  372  378  384  390  396  402  408  414  420  426  432  438  444 
##  75%  76%  77%  78%  79%  80%  81%  82%  83%  84%  85%  86%  87%  88%  89% 
##  450  456  462  468  474  480  486  492  498  504  510  516  522  528  534 
##  90%  91%  92%  93%  94%  95%  96%  97%  98%  99% 100% 
##  540  546  552  558  564  570  576  582  588  594  600

comments powered by Disqus